Máximo Divisor Comum

Máximo divisor comum

Vamos considerar a seguinte situação: desejamos recortar uma folha de papel retangular, medindo

30cm× 45cm, em pedaços quadrados todos com as mesmas dimensões. Como determinar as dimensões desses

pedaços de modo que eles tenham a maior área possível?

Uma solução: Se x é a medida dos lados destes quadrados, então x deve ser um divisor de 30 e também de 45.

Como os divisores positivos de 30 e de 45 são

D(30) = {1, 2,3,5,6,10,15,30} e D(45) = {1 ,3,5,9,15, 45}, x deve ser um elemento da interseção

destes dois conjuntos, ou seja, x∈ D(30)∩ D(45) = {1,3,5,15}.

Como queremos que os pedaços de papel tenham a maior área possível, devemos tomar x = 15 cm.

Nesse problema, o valor que tomamos para x é o maior inteiro positivo que divide 30 e 45

simultaneamente e, por isso, é chamado de máximo divisor comum de 30 e 45. Vamos denotá-lo por

mdc{30, 45}, ou seja, mdc{30, 45}= 15 .

O máximo divisor comum de dois números pode ainda ser definido assim:

Definição: Sejam a e b inteiros, sendo pelo menos um deles não-nulo. Um inteiro positivo d é chamado

máximo divisor comum de a e b , que vamos denotar por mdc{a ,b}, se as duas condições seguintes são

satisfeitas.

1. d | a e d |b

2. se c ∈ Z é tal que c | a e c |b então c | d .

A condição (1) afirma que d é um divisor comum de a e b , enquanto a condição (2), além de dizer que d

é o maior divisor comum de a e b , também garante que d é divisível por qualquer divisor comum de a e b .

Definição: 

Se mdc{a ,b}= 1 dizemos que a e b são relativamente primos ou primos entre si.

Exemplo: Os números 9 e 40 são relativamente primos, pois 9 = 3² e 40 = 2³×5.

Observação: Dados dois inteiros a e b , às vezes é conveniente usar os mesmos primos para decompô-los em fatores primos. Isto é possível pondo expoente nulo em cada primo que aparece numa decomposição e não divide o número correspondente a esta decomposição. Isto também pode ser feito com mais de dois números.

Exemplo: 18 = 2×32 e 40 = 23 ×5 mas podemos escrever 18 = 2×32 ×50 e 40 = 23 ×30 ×5 .

Referência:

Livro de Meb I UFPB VIRTUAL.